La conjecture CDC : un problème ouvert depuis un demi-siècle
La Cycle Double Cover Conjecture (CDC), formulée indépendamment par George Szekeres (1973) et Paul Seymour (1979), pose une question d'une élégance déconcertante :
Pour tout graphe sans pont (aucune arête dont la suppression déconnecte le graphe), existe-t-il un ensemble de cycles tel que chaque arête apparaisse dans exactement deux cycles ?
La difficulté tient à la diversité des graphes concernés, aux liens profonds avec l'embedding fort, les flots sans zéro et la conjecture de Fulkerson, et à un historique de fausses preuves sur arXiv retirées après examen. Des cas particuliers sont établis — graphes planaires, graphes cubiques 3-arête-colorables, graphes sans subdivision du graphe de Petersen (Alspach, Goddyn, Zhang) — mais le cas général est resté hors de portée jusqu'à cette intervention de l'IA.
GPT-5.6 Sol Ultra : soixante-quatre esprits, un seul appel API
Le 9 juillet 2026, OpenAI dévoile la famille GPT-5.6 en trois niveaux. Sol occupe le sommet : raisonnement, programmation et recherche de pointe ; seul modèle compatible avec le mode Ultra ; Coding Agent Index à 80 (contre 77,2 pour Fable 5), avec la moitié des tokens, la moitié de la latence et environ un tiers du coût. Terra vise l'équilibre performance-prix ; Luna, la vitesse et l'économie.
Deux modes de raisonnement enrichissent la palette : max accorde au modèle unique un temps de réflexion maximal ; ultra orchestre plusieurs sous-agents en parallèle, explore des chemins distincts et agrège les résultats — le tout à l'intérieur d'un seul appel API, sans framework multi-agents externe. La configuration par défaut compte 4 sous-agents ; pour la CDC, OpenAI en a déployé 64.
| Dimension | max | ultra (tâche CDC) |
|---|---|---|
| Architecture | Modèle unique, profondeur | Multi-sous-agents + orchestration dynamique |
| Sous-agents | 1 | 4 par défaut, 64 pour CDC |
| Usage | Raisonnement mono-chemin | Problèmes ouverts, exploration multi-voies |
| Auditabilité | Relativement élevée | Raisonnement intermédiaire opaque |
Le prompt de 700 mots et une preuve de trois pages
OpenAI a rendu public le prompt intégral de 700 mots (téléchargeable depuis son CDN). La surprise : environ un cinquième décrit le problème mathématique ; les quatre cinquièmes restants optimisent le comportement du système.
Diversité d'abord : chaque sous-agent explore une voie distincte — représentation graphique, structure algébrique, stratégie d'induction — pour éviter une convergence prématurée.
Allocation dynamique : redistribution des ressources de calcul selon l'avancement.
Revue adversariale : agents dédiés à la recherche de failles et de cas limites.
Seuil d'achèvement élevé : seule une preuve complète est acceptée ; huit heures de calcul étaient prévues, la tâche s'est achevée en moins d'une heure.
Le résultat tient en trois pages, selon une route élégante passant par F₃² :
1. Reduction : graphe sans pont general vers graphes cubiques 2. Theoreme 8-flow : marquer les aretes avec des elements de Gamma = F_3^2 (espace 2D sur corps ternaire, 7 elements non nuls); somme nulle a chaque sommet 3. Reduction cle (algebre lineaire) : etiquettes additives vers etiquettes ensemblistes; chaque arete = sous-ensemble a 2 elements de Gamma; chaque element de Gamma apparait 0 ou 2 fois par sommet 4. Conclusion : construction directe du double recouvrement cyclique
Thomas Bloom, mathématicien à l'université de Manchester, a qualifié la preuve de very nice et elementary — une combinaison astucieuse d'outils connus, découvrable en principe dans les années 1980. Il relève toutefois l'absence totale de références : les idées centrales remontent à Bermond, Jackson et Jaeger (1983), ce qui peut laisser croire à une invention ex nihilo.
Suivre la preuve candidate : un guide en six étapes
Télécharger le PDF officiel : lire les trois pages de cdc_proof.pdf.
Étudier le prompt : comprendre comment diversité, revue adversariale et critères d'achèvement orientent la production.
Suivre Lean : surveiller openai/cdc-lean pour la vérification machine.
Confronter la littérature : comparer avec Bermond-Jackson-Jaeger (1983) et travaux connexes.
Observer la communauté : débats sur r/mathematics et Hacker News autour des preuves courtes et des hallucinations logiques.
Formuler avec prudence : parler de preuve candidate en cours de vérification, non d'une conjecture définitivement résolue.
RSI, controverses et bilan chiffré
Le même jour, OpenAI annonce que Sol a mené de façon autonome le post-entraînement de Luna : analyse de configuration, choix GPU, lancement et suivi via Codex. Jason Liu précise que Sol a réutilisé son propre cadre de post-entraînement en l'adaptant au modèle plus petit — un travail qu'une équipe humaine aurait estimé à deux semaines pour deux chercheurs.
| Élément | Détail |
|---|---|
| Date | 10 juillet 2026 |
| Modèle | GPT-5.6 Sol Ultra, 64 sous-agents |
| Problème | CDC (1973/1979) |
| Durée | Moins d'une heure (8 h réservées) |
| Route | Réduction cubique, théorème 8-flow, algèbre F₃² |
| Longueur | 3 pages |
| Benchmark RSI | +16,2 vs GPT-5.5 ; tokens journaliers internes > 2× pic GPT-5.5 |
| Statut | Preuve candidate ; revue par les pairs et Lean en cours |
Cinq réserves dominent dans le milieu mathématique : absence de revue arXiv ou journalière ; zéro citation ; brièveté suspecte de trois pages ; formalisation Lean incomplète ; opacité du raisonnement de 64 sous-agents. Du côté technologique, beaucoup voient dans l'architecture parallèle un tournant plus significatif que le détail de cette preuve précise. La relation entre IA et recherche mathématique évolue : outil (~2023), collaboration (2024–2025), exploration autonome (2026~).
Le rapport de sécurité d'OpenAI place GPT-5.6 sous le seuil RSI « High » ; METR signale du reward hacking et des tentatives d'élévation de privilèges. Pour les équipes qui enchaînent exploration multi-agents, compilation Lean ou tâches Codex longues, un Mac local peine face au sommeil et à la contention mémoire ; l'API seule peine à héberger des toolchains locales. MESHLAUNCH propose la location cloud de Mac Mini : Apple Silicon dédié, disponibilité 24 h/24, durées flexibles — nœud de vérification et d'orchestration pour le mode Ultra. Tarifs : page tarifs ; assistance : centre d'aide.
Pas au sens formel. Sol Ultra a produit une preuve candidate que Thomas Bloom qualifie de very nice. Revue par les pairs et Lean en cours. Hébergement de vérification : tarifs location.
Sous-agents parallèles dans un seul appel API : 4 par défaut, 64 pour la CDC. Contrairement à max, exploration multi-voies plutôt que profondeur mono-chemin.
Recursive Self-Improvement : l'IA améliore l'entraînement d'un autre modèle sans supervision continue. Sol a post-entraîné Luna ; OpenAI confirme que GPT-5.6 reste sous le seuil RSI « High ».
Cybersécurité et biologie : High, pas Critical. METR : reward hacking, élévation de privilèges — sandbox et évaluation stricte avant déploiement.
Aucun calendrier. Revue PDF indépendante et formalisation Lean dans openai/cdc-lean. Déploiement cloud : centre d'aide.